প্রমাণ:

মনে করি, ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O। প্রশ্নে দেওয়া আছে যে P₁, P₂, P₃ বল তিনটি যথাক্রমে OD, OE, OF বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যবস্থায় আছে।

এই ধরণের সমস্যার ক্ষেত্রে, সাধারণত D, E, F বিন্দুগুলি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B, C-কেই নির্দেশ করে। সুতরাং, আমরা ধরে নিচ্ছি যে P₁, P₂, P₃ বলগুলি যথাক্রমে OA, OB এবং OC বরাবর O বিন্দুতে ক্রিয়া করছে এবং সাম্যবস্থায় আছে।

লামির উপপাদ্য (Lami's Theorem) অনুযায়ী, যদি তিনটি বল একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যবস্থায় থাকে, তাহলে প্রতিটি বল অন্য দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের sine-এর সমানুপাতিক হয়।

এখানে, বল P₁, P₂, P₃ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণগুলি হলো:

P₁ এবং P₂ এর মধ্যবর্তী কোণ = $∠ A O B$
P₂ এবং P₃ এর মধ্যবর্তী কোণ = $∠ B O C$
P₃ এবং P₁ এর মধ্যবর্তী কোণ = $∠ C O A$

পরিকেন্দ্র O এর ক্ষেত্রে আমরা জানি:

$∠ B O C = 2 ∠ A$
$∠ C O A = 2 ∠ B$
$∠ A O B = 2 ∠ C$

সুতরাং, লামির উপপাদ্য থেকে পাই:

$\frac{P_{1}}{\sin (∠ BOC)} = \frac{P_{2}}{\sin (∠ COA)} = \frac{P_{3}}{\sin (∠ AOB)}$

$\frac{P_{1}}{\sin (2 A)} = \frac{P_{2}}{\sin (2 B)} = \frac{P_{3}}{\sin (2 C)}$

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতি অনুযায়ী $\sin (2 X) = 2 \sin X \cos X$ ।

সুতরাং,

$\frac{P_{1}}{2 \sin A \cos A} = \frac{P_{2}}{2 \sin B \cos B} = \frac{P_{3}}{2 \sin C \cos C}$

ত্রিভুজের সাইন সূত্র (Sine Rule) অনুযায়ী, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$ (যেখানে R হলো পরিব্যাসার্ধ)।

এখান থেকে আমরা পাই: $\sin A = \frac{a}{2 R}$ , $\sin B = \frac{b}{2 R}$ , $\sin C = \frac{c}{2 R}$ ।

এই মানগুলি উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$\frac{P_{1}}{2 (\frac{a}{2 R}) \cos A} = \frac{P_{2}}{2 (\frac{b}{2 R}) \cos B} = \frac{P_{3}}{2 (\frac{c}{2 R}) \cos C}$

$\frac{P_{1}}{\frac{a}{R} \cos A} = \frac{P_{2}}{\frac{b}{R} \cos B} = \frac{P_{3}}{\frac{c}{R} \cos C}$

উভয় পাশকে R দ্বারা গুণ করে পাই:

$\frac{P_{1}}{a \cos A} = \frac{P_{2}}{b \cos B} = \frac{P_{3}}{c \cos C}$

ধরি, এই অনুপাতগুলি $K^{}$ এর সমান। তাহলে,

$P_{1} = K^{} a \cos A$

$P_{2} = K^{} b \cos B$

$P_{3} = K^{} c \cos C$

এখন, কোসাইন সূত্র (Cosine Rule) অনুযায়ী:

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$
$\cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 a c}$
$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

এই $\cos A$ , $\cos B$ , $\cos C$ এর মানগুলি $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ এর সূত্রে বসাই:

$P_{1} = K^{} a (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}) = K^{} \frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{2 b c}$

$P_{2} = K^{} b (\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 a c}) = K^{} \frac{b (c^{2} + a^{2} - b^{2})}{2 a c}$

$P_{3} = K^{} c (\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}) = K^{} \frac{c (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{2 a b}$

এখন, প্রশ্নে প্রদত্ত সম্পর্কটি যাচাই করি:

$\frac{p_{1}}{a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2})}$

$= \frac{K^{} \frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{2 b c}}{a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2})}$

$= \frac{K^{} a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{2 b c \cdot a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2})}$

$= \frac{K^{}}{2 a b c}$

একইভাবে, দ্বিতীয় পদের জন্য:

$\frac{p_{2}}{b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2})}$

$= \frac{K^{} \frac{b (c^{2} + a^{2} - b^{2})}{2 a c}}{b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2})}$

$= \frac{K^{} b (c^{2} + a^{2} - b^{2})}{2 a c \cdot b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2})}$

$= \frac{K^{}}{2 a b c}$

এবং তৃতীয় পদের জন্য:

$\frac{p_{3}}{c^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2})}$

$= \frac{K^{} \frac{c (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{2 a b}}{c^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2})}$

$= \frac{K^{}}{2 a b c}$

যেহেতু তিনটি পদই $\frac{K^{}}{2 a b c}$ এর সমান, অতএব, সম্পর্কটি প্রমাণিত হয়।

অর্থাৎ,

$\frac{p_{1}}{a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2})} = \frac{p_{2}}{b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2})} = \frac{p_{3}}{c^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2})}$

উদ্দীপক-১: উদ্দীপক-১: