প্রিয় শিক্ষার্থী,

চলো, আমরা এই জটিল সমীকরণটির সমাধান ধাপে ধাপে বের করি। 🎯

দেওয়া আছে সমীকরণটি হলো: \(x^{3}+\left(p^{2}-3\right) x-(p+2)=0\)。

এবং সমীকরণটির একটি মূল হলো \(-1+\mathrm{iP}\)।

যেহেতু এই ত্রিঘাত সমীকরণটির সহগগুলো (যেমন: 1, 0, \(p^2-3\), \(-(p+2)\)) বাস্তব সংখ্যা, তাই আমরা জানি যে যদি একটি জটিল মূল (\(a+bi\)) থাকে, তাহলে তার অনুবন্ধী (\(a-bi\)) মূলটিও সমীকরণটির একটি মূল হবে।

সুতরাং, যেহেতু \(-1+\mathrm{iP}\) একটি মূল, এর অনুবন্ধী \(-1-\mathrm{iP}\) ও এই সমীকরণের একটি মূল হবে।

ধরি, সমীকরণটির তৃতীয় মূলটি হলো \(\alpha\)।

আমরা জানি যে, একটি ত্রিঘাত সমীকরণ \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) এর মূলগুলোর যোগফল \(-\frac{B}{A}\)।

আমাদের প্রদত্ত সমীকরণে \(x^2\) এর সহগ \(B=0\) এবং \(x^3\) এর সহগ \(A=1\)।

অতএব, মূলগুলোর যোগফল হবে \(-0/1 = 0\)।

মূলগুলো হলো \(-1+\mathrm{iP}\), \(-1-\mathrm{iP}\) এবং \(\alpha\)।

মূলগুলোর যোগফল:

\((-1+\mathrm{iP}) + (-1-\mathrm{iP}) + \alpha = 0\)
\(-1+\mathrm{iP}-1-\mathrm{iP} + \alpha = 0\)
\(-2 + \alpha = 0\)
\(\alpha = 2\)

সুতরাং, সমীকরণটির তিনটি মূল হলো: \(2\), \(-1+\mathrm{iP}\) এবং \(-1-\mathrm{iP}\)।

এখন, আমরা ভিয়েটার সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের সহগগুলোর সাথে মূলগুলোর সম্পর্ক স্থাপন করব এবং \(p\) ও \(P\) এর মান নির্ণয় করব।

১. মূলগুলোর দুটি করে নিয়ে গুণফলের যোগফল: \(x\) এর সহগ / \(x^3\) এর সহগ

\((2)(-1+\mathrm{iP}) + (2)(-1-\mathrm{iP}) + (-1+\mathrm{iP})(-1-\mathrm{iP}) = p^2-3\)

\(-2+2\mathrm{iP} -2-2\mathrm{iP} + ((-1)^2 - (\mathrm{iP})^2) = p^2-3\)

\(-4 + (1 - \mathrm{i}^2 \mathrm{P}^2) = p^2-3\)

\(-4 + (1 + \mathrm{P}^2) = p^2-3\) (যেহেতু \(\mathrm{i}^2 = -1\))

\(\mathrm{P}^2 - 3 = p^2-3\)

সুতরাং, \(\mathrm{P}^2 = p^2\) (সম্পর্ক ১)

২. মূলগুলোর গুণফল: \(-(ধ্রুবক\ পদ))\ / \(x^3\) এর সহগ

\((2)(-1+\mathrm{iP})(-1-\mathrm{iP}) = -(-(p+2))\)

\((2)( (-1)^2 - (\mathrm{iP})^2) = p+2\)

\((2)(1 - \mathrm{i}^2 \mathrm{P}^2) = p+2\)

\((2)(1 + \mathrm{P}^2) = p+2\)

\(2 + 2\mathrm{P}^2 = p+2\)

সুতরাং, \(2\mathrm{P}^2 = p\) (সম্পর্ক ২)

এখন, আমরা সম্পর্ক ১ এবং ২ থেকে \(p\) ও \(P\) এর মান বের করব।

সম্পর্ক ২ থেকে \(p = 2\mathrm{P}^2\) সম্পর্ক ১ এ বসিয়ে পাই:

\((2\mathrm{P}^2)^2 = \mathrm{P}^2\)

\(4\mathrm{P}^4 = \mathrm{P}^2\)

\(4\mathrm{P}^4 - \mathrm{P}^2 = 0\)

\(\mathrm{P}^2(4\mathrm{P}^2 - 1) = 0\)

এই সমীকরণটি থেকে \(\mathrm{P}\) এর দুটি সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়:

ক্ষেত্র ১: \(\mathrm{P}^2 = 0 \Rightarrow \mathrm{P} = 0\)

যদি \(\mathrm{P}=0\) হয়, তাহলে সম্পর্ক ২ থেকে \(p = 2(0)^2 = 0\)।

এই ক্ষেত্রে, প্রদত্ত মূল \(-1+\mathrm{iP}\) হয়ে যায় \(-1+i(0) = -1\)。

এবং সমীকরণটি হয়: \(x^3 + (0^2-3)x - (0+2) = 0 \Rightarrow x^3 - 3x - 2 = 0\)।

এই সমীকরণটির মূলগুলো হলো: \(2, -1, -1\)。
(কারণ: \((x-2)(x+1)^2 = (x-2)(x^2+2x+1) = x^3+2x^2+x-2x^2-4x-2 = x^3-3x-2\))

ক্ষেত্র ২: \(4\mathrm{P}^2 - 1 = 0 \Rightarrow 4\mathrm{P}^2 = 1 \Rightarrow \mathrm{P}^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow \mathrm{P} = \pm \frac{1}{2}\)

যদি \(\mathrm{P} = \frac{1}{2}\) হয়, তাহলে সম্পর্ক ২ থেকে \(p = 2(\frac{1}{2})^2 = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\)।

এই ক্ষেত্রে, প্রদত্ত মূল \(-1+\mathrm{iP}\) হয়ে যায় \(-1+i\frac{1}{2}\)。

এবং সমীকরণটি হয়: \(x^3 + ((\frac{1}{2})^2-3)x - ((\frac{1}{2})+2) = 0\)

\(x^3 + (\frac{1}{4}-3)x - (\frac{5}{2}) = 0\)

\(x^3 - \frac{11}{4}x - \frac{5}{2} = 0\)

এই ক্ষেত্রে, সমীকরণটির মূলগুলো হলো: \(2, -1+i\frac{1}{2}, -1-i\frac{1}{2}\)。

যদি \(\mathrm{P} = -\frac{1}{2}\) হয়, তাহলেও সম্পর্ক ২ থেকে \(p = 2(-\frac{1}{2})^2 = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\)。

এই ক্ষেত্রে, প্রদত্ত মূল \(-1+\mathrm{iP}\) হয়ে যায় \(-1+i(-\frac{1}{2}) = -1-i\frac{1}{2}\)。

এবং সমীকরণটি পূর্বের মতোই হবে: \(x^3 - \frac{11}{4}x - \frac{5}{2} = 0\)。

এই ক্ষেত্রেও সমীকরণটির মূলগুলো হলো: \(2, -1-i\frac{1}{2}, -1+i\frac{1}{2}\) (যা আগের সেটের মতোই)।

সুতরাং, প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সমীকরণটির দুটি সম্ভাব্য সমাধান সেট পাওয়া যায়:

১. যখন \(P=0\) এবং \(p=0\), তখন সমীকরণটির মূলগুলো হলো: \(2, -1, -1\)。

২. যখন \(P=\pm \frac{1}{2}\) এবং \(p=\frac{1}{2}\), তখন সমীকরণটির মূলগুলো হলো: \(2, -1+i\frac{1}{2}, -1-i\frac{1}{2}\)。

আশা করি তুমি বুঝতে পেরেছো! 😊

উদ্দীপক-১: (2 m x^ 2 +n x+1=0 ) এবং (n x^ 2 +2 m x+1=0 ) উদ্দীপক-২: (x^ 3 +px^ 2 +qx+r=0 )