ম্যাট্রিক্স A এর জন্য আমরা ক্যালি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি। প্রথমে, A এর বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ (characteristic equation) নির্ণয় করি। \

\( |A - \lambda I| = 0 \\ \begin{vmatrix} 2-\lambda & 3 & -1 \\ 2 & 0-\lambda & 2 \\ 1 & -2 & 0-\lambda \end{vmatrix} = 0 \) \

\( (2-\lambda)(\lambda^2 + 4) - 3(-2\lambda - 2) - 1(-4 - \lambda) = 0 \\ 2\lambda^2 + 8 - \lambda^3 - 4\lambda + 6\lambda + 6 + 4 + \lambda = 0 \\ -\lambda^3 + 2\lambda^2 + 3\lambda + 18 = 0 \\ \lambda^3 - 2\lambda^2 - 3\lambda - 18 = 0 \) \ ক্যালি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য অনুযায়ী, \(A\) তার বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণকে সিদ্ধ করে, অর্থাৎ, \(A^3 - 2A^2 - 3A - 18I = 0\). \ প্রদত্ত আছে \(f(A) = A^2 - 5A\). \ প্রশ্নানুযায়ী, \(f(A) + 4I_3 = 0\). \ সুতরাং, \(A^2 - 5A + 4I = 0\). \ এই সমীকরণ থেকে \(A^{-1}\) নির্ণয় করার জন্য, উভয় পক্ষকে \(A^{-1}\) দ্বারা গুণ করি: \

\( A^{-1}(A^2 - 5A + 4I) = A^{-1}(0) \\ A - 5I + 4A^{-1} = 0 \\ 4A^{-1} = 5I - A \\ A^{-1} = \frac{1}{4}(5I - A) \) \ এখন \(5I - A\) নির্ণয় করি: \

\( 5I - A = 5\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 5-2 & 0-3 & 0-(-1) \\ 0-2 & 5-0 & 0-2 \\ 0-1 & 0-(-2) & 5-0 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -2 & 5 & -2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \) \ সুতরাং, \(A^{-1}\) হবে: \

\( A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -2 & 5 & -2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/4 & -3/4 & 1/4 \\ -2/4 & 5/4 & -2/4 \\ -1/4 & 2/4 & 5/4 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 3/4 & -3/4 & 1/4 \\ -1/2 & 5/4 & -1/2 \\ -1/4 & 1/2 & 5/4 \end{bmatrix} \)

দৃশ্যকাব্য-১: ( A = begin bmatrix 2 & 3 & -1 2 & 0 & 2 1 & -2 & 0 end bmatrix , f( alpha) = alpha^2 - 5 alpha. ) দৃশ্যকাব্য-২: ( beta = [3x + 2y + z quad x + 2y + 3z quad 2x + y + 4z] ) এবং ( gamma = [3 quad -1 quad 2]. )