দেওয়া আছে, ফাংশনটি হল:

\(f(x)=x^{rac{1}{x}} \)

ধরি, \(y = x^{rac{1}{x}} \)

উভয় পাশে স্বাভাবিক লগারিদম (ln) নিয়ে পাই:

\( \ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}}) \)

\( \ln y = \frac{1}{x} \ln x \) (লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে)

এখন, x এর সাপেক্ষে উভয় পাশে অন্তরীকরণ করে পাই:

\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) \ln x + \frac{1}{x} \frac{d}{dx}(\ln x) \)

\( \frac{1}{y} y_1 = (-\frac{1}{x^2}) \ln x + \frac{1}{x} (\frac{1}{x}) \)

\( \frac{1}{y} y_1 = -\frac{\ln x}{x^2} + \frac{1}{x^2} \)

\( \frac{1}{y} y_1 = \frac{1 - \ln x}{x^2} \)

\( y_1 = y \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) \)

\( y_1 = x^{\frac{1}{x}} \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) \)

সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের জন্য, \(y_1 = 0\) ধরতে হবে:

\( x^{\frac{1}{x}} \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) = 0 \)

যেহেতু \( x^{\frac{1}{x}} \) সর্বদা ধনাত্মক এবং \( x^2 \) ও ধনাত্মক (যেহেতু \( \ln x \) এর জন্য \( x>0 \)), তাই:

\( 1 - \ln x = 0 \)

\( \ln x = 1 \)

\( x = e^1 \)

\( x = e \)

এখন, \(x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির দ্বিতীয় অন্তরীকরণ (\(y_2\)) এর মান পরীক্ষা করতে হবে।

\( y_2 = \frac{d}{dx}(y_1) = \frac{d}{dx} \left( y \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) \right) \)

গুণফল সূত্র ব্যবহার করে পাই:

\( y_2 = y_1 \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) + y \frac{d}{dx}\left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) \)

\(x=e\) বিন্দুতে, \(y_1 = 0\) এবং \(1 - \ln e = 1 - 1 = 0\) ।

সুতরাং, \(x=e\) বিন্দুতে প্রথম পদ \( y_1 \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) = 0 \times \left( \frac{0}{e^2} \right) = 0 \)।

দ্বিতীয় পদের জন্য, \( \frac{d}{dx}\left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) \) নির্ণয় করি। ভাগফল সূত্র ব্যবহার করে পাই:

\( \frac{x^2 (-\frac{1}{x}) - (1 - \ln x)(2x)}{(x^2)^2} = \frac{-x - 2x + 2x \ln x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \ln x}{x^4} \)

এখন, \(x=e\) এবং \(y=e^{\frac{1}{e}}\) বসিয়ে \(y_2\) এর মান নির্ণয় করি:

\( y_2 \Big|_{x=e} = 0 + e^{\frac{1}{e}} \left( \frac{-3e + 2e \ln e}{e^4} \right) \)

\( = e^{\frac{1}{e}} \left( \frac{-3e + 2e(1)}{e^4} \right) \)

\( = e^{\frac{1}{e}} \left( \frac{-e}{e^4} \right) \)

\( = -\frac{e^{\frac{1}{e}}}{e^3} \)

যেহেতু \( e^{\frac{1}{e}} \) এবং \( e^3 \) উভয়ই ধনাত্মক, তাই \( -\frac{e^{\frac{1}{e}}}{e^3} < 0 \) ।

যেহেতু \(y_2 < 0\), তাই \(x=e\) বিন্দুতে \(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\) ফাংশনটির মান বৃহত্তম হবে।

প্রমাণিত।

দেখাও যে, ( f(x)=x^ 1 x ) এর মান বৃহত্তম হবে যদি ( x=e ) হয়।