প্রমাণ: আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে,

rac{1}{1 imes 2} + rac{1}{2 imes 3} + rac{1}{3 imes 4} + ext{...} + rac{1}{n(n+1)} = rac{n}{n+1}

ধরি, অনুক্রমটির $n$-তম পদ $U_n$

U_n = rac{1}{n(n+1)}

আমরা $U_n$-কে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করতে পারি:

rac{1}{n(n+1)} = rac{A}{n} + rac{B}{n+1}

উভয়পক্ষকে $n(n+1)$ দিয়ে গুণ করে পাই:

1 = A(n+1) + Bn

যখন $n=0$, তখন $1 = A(0+1) ightarrow A=1$
যখন $n=-1$, তখন $1 = A(-1+1) + B(-1) ightarrow 1 = 0 - B ightarrow B=-1$
সুতরাং, $U_n$ কে লেখা যায়:

U_n = rac{1}{n} - rac{1}{n+1}

এখন, $n$ পর্যন্ত পদগুলোর সমষ্টি $S_n$ নির্ণয় করি:

S_n = rac{1}{1 imes 2} + rac{1}{2 imes 3} + rac{1}{3 imes 4} + ext{...} + rac{1}{n(n+1)}

প্রতিটি পদকে $U_n$ এর রূপে লিখি:

S_n = igg(1 - rac{1}{2}igg) + igg(rac{1}{2} - rac{1}{3}igg) + igg(rac{1}{3} - rac{1}{4}igg) + ext{...} + igg(rac{1}{n} - rac{1}{n+1}igg)

এটি একটি টেলিস্কোপিক সিরিজ। মাঝের পদগুলো পরস্পরকে বাতিল করে দেয়।

S_n = 1 - rac{1}{n+1}

এখন এই রাশিটিকে সরল করি:

S_n = rac{n+1-1}{n+1}

S_n = rac{n}{n+1}

এভাবে আমরা প্রমাণ করতে পারি যে,

rac{1}{1 imes 2} + rac{1}{2 imes 3} + rac{1}{3 imes 4} + ext{...} + rac{1}{n(n+1)} = rac{n}{n+1}

প্রমাণ কর যে , ( 1 1.2 +1 2.3 +1 3.4 ldots ldots ldots ldots . .=n n+1 )