প্রদত্ত জটিল সংখ্যাটি হলো: \( \frac{1 + 2 i}{1 - 3 i} \)

প্রথমে, এই জটিল সংখ্যাটিকে \(x + iy\) আকারে প্রকাশ করি। এর জন্য হরের অনুবন্ধী (conjugate) দিয়ে লব ও হরকে গুণ করতে হবে:

\( \frac{1 + 2 i}{1 - 3 i} = \frac{(1 + 2 i)(1 + 3 i)}{(1 - 3 i)(1 + 3 i)} \)

লবকে গুণ করলে পাই:

\( (1 + 2 i)(1 + 3 i) = 1(1) + 1(3i) + 2i(1) + 2i(3i) \)

\( = 1 + 3i + 2i + 6i^2 \)

\( = 1 + 5i + 6(-1) \) (যেহেতু \(i^2 = -1\))

\( = 1 + 5i - 6 \)

\( = -5 + 5i \)

হরকে গুণ করলে পাই:

\( (1 - 3 i)(1 + 3 i) = 1^2 - (3i)^2 \) (\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) সূত্রানুযায়ী)

\( = 1 - 9i^2 \)

\( = 1 - 9(-1) \)

\( = 1 + 9 \)

\( = 10 \)

সুতরাং, জটিল সংখ্যাটি দাঁড়ায়:

\( \frac{-5 + 5i}{10} = -\frac{5}{10} + \frac{5}{10}i = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \)

এখন, \( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \) কে \(r(\cos \theta + i \sin \theta)\) আকারে প্রকাশ করতে হবে।

এখানে, \(x = -\frac{1}{2}\) এবং \(y = \frac{1}{2}\)।

মডুলাস (Modulus) \(r\) নির্ণয়:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)

\( r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \)

\( r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \)

\( r = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \)

\( r = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

আর্গুমেন্ট (Argument) \(\theta\) নির্ণয়:

\( \tan \alpha = \left|\frac{y}{x}\right| = \left|\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}\right| = |-1| = 1 \)

\( \alpha = \tan^{-1}(1) = 45^\circ \)

যেহেতু \(x = -\frac{1}{2}\) (ঋণাত্মক) এবং \(y = \frac{1}{2}\) (ধনাত্মক), জটিল সংখ্যাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আর্গুমেন্ট \(\theta = 180^\circ - \alpha \)।

\( \theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \)

সুতরাং, \( \frac{1 + 2 i}{1 - 3 i} \) এর পোলার রূপ হলো:

\( \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ) \)

( 1 + 2 i 1 - 3 i ) কে (r(cos θ + i sinθ) ) আকারে প্রকাশ কর।