গণিত সমস্যাটির সমাধান নিচে দেওয়া হলো:

প্রথমে, সমীকরণ জোটটি সমাধান করা যাক:

(১) \( 2x+y+3z = 4 \)
(২) \( x+2z=0 \)
(৩) \( 3x + 4y-5z=2 \)

(২) নং সমীকরণ থেকে পাই, \( x = -2z \)

এখন, \( x \) এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
\( 2(-2z) + y + 3z = 4 \)
\( -4z + y + 3z = 4 \)
\( y - z = 4 \) ..........(৪)

এরপর, \( x \) এর মান (৩) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
\( 3(-2z) + 4y - 5z = 2 \)
\( -6z + 4y - 5z = 2 \)
\( 4y - 11z = 2 \) ..........(৫)

এখন, (৪) নং সমীকরণ থেকে পাই, \( y = 4 + z \)

\( y \) এর মান (৫) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
\( 4(4 + z) - 11z = 2 \)
\( 16 + 4z - 11z = 2 \)
\( 16 - 7z = 2 \)
\( -7z = 2 - 16 \)
\( -7z = -14 \)
\( z = \frac{-14}{-7} \)
\( z = 2 \)

এখন, \( z \) এর মান (৪) নং সমীকরণে বসিয়ে \( y \) এর মান বের করি:
\( y = 4 + z \)
\( y = 4 + 2 \)
\( y = 6 \)

সবশেষে, \( z \) এর মান \( x = -2z \) সমীকরণে বসিয়ে \( x \) এর মান বের করি:
\( x = -2(2) \)
\( x = -4 \)

সুতরাং, সমীকরণ জোটের সমাধান হলো: \( x = -4, y = 6, z = 2 \)

---

এবার, প্রমাণ করা যাক যে, \( \mathrm{I}=\mathrm{I}^{-1}=\mathrm{I}^{\mathrm{n}} \) যেখানে, I একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

১. \( \mathrm{I}=\mathrm{I}^{-1} \) প্রমাণ:

আমরা জানি, একটি ম্যাট্রিক্স \( A \) এবং তার বিপরীত ম্যাট্রিক্স \( A^{-1} \) এর গুণফল একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স \( I \) হয়, অর্থাৎ \( A \cdot A^{-1} = I \)।
যদি \( A \) নিজেই একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স \( I \) হয়, তাহলে সংজ্ঞানুসারে,
\( I \cdot I^{-1} = I \)
আমরা আরও জানি যে, একটি অভেদক ম্যাট্রিক্সকে যেকোনো ম্যাট্রিক্স (এবং নিজেকেও) দিয়ে গুণ করলে ম্যাট্রিক্সটি নিজেই থাকে, অর্থাৎ \( I \cdot I = I \)।
এই দুটি সমীকরণ তুলনা করলে দেখা যায়, \( I^{-1} \) অবশ্যই \( I \) এর সমান হতে হবে।
সুতরাং, \( \mathrm{I}=\mathrm{I}^{-1} \) প্রমাণিত।

২. \( \mathrm{I}=\mathrm{I}^{\mathrm{n}} \) প্রমাণ:

\( \mathrm{I}^{\mathrm{n}} \) মানে হলো অভেদক ম্যাট্রিক্স \( I \) কে \( n \) বার নিজেদের মধ্যে গুণ করা।
যদি \( n=1 \) হয়, তাহলে \( \mathrm{I}^{1} = I \)।
যদি \( n=2 \) হয়, তাহলে \( \mathrm{I}^{2} = I \cdot I \)। আমরা জানি যে একটি অভেদক ম্যাট্রিক্সকে নিজের সাথে গুণ করলে অভেদক ম্যাট্রিক্সটিই পাওয়া যায়, অর্থাৎ \( I \cdot I = I \)।
অতএব, \( \mathrm{I}^{2} = I \)।
একইভাবে,
\( \mathrm{I}^{3} = I \cdot I \cdot I = I \cdot (I \cdot I) = I \cdot I = I \)।
এই ধারা অব্যাহত থাকলে, যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \( n \) এর জন্য, \( \mathrm{I}^{\mathrm{n}} = I \) হবে।
সুতরাং, \( \mathrm{I}=\mathrm{I}^{\mathrm{n}} \) প্রমাণিত।

উপরিউক্ত দুটি প্রমাণ থেকে আমরা বলতে পারি যে, একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স \( I \) এর জন্য \( \mathrm{I}=\mathrm{I}^{-1}=\mathrm{I}^{\mathrm{n}} \) হয়।

2x+y+3z = 4, x+2z=0, 3x + 4y-5z=2

2x+y+3z = 4, x+2z=0, 3x + 4y-5z=2