প্রদত্ত কার্টেসীয় স্থানাঙ্ক হলো \((3, \frac{3\sqrt{3}}{2})\)।

আমরা জানি, কার্টেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y))\) থেকে পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta))\) নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
\(\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})\)

এখানে, \(x = 3\) এবং \(y = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)

প্রথমে, \(r\) এর মান নির্ণয় করি:

\(r = \sqrt{3^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}\)

\(r = \sqrt{9 + \frac{9 \times 3}{4}}\)

\(r = \sqrt{9 + \frac{27}{4}}\)

\(r = \sqrt{\frac{36 + 27}{4}}\)

\(r = \sqrt{\frac{63}{4}}\)

\(r = \frac{\sqrt{63}}{2}\)

\(r = \frac{3\sqrt{7}}{2}\)

এবার, \(\theta\) এর মান নির্ণয় করি:

\(\theta = \tan^{-1}(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{3})\)

\(\theta = \tan^{-1}(\frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3})\)

\(\theta = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})\)

এই মানগুলো প্রদত্ত বিকল্পগুলোর সাথে মেলে না। প্রশ্ন এবং বিকল্পগুলোর মধ্যে অসঙ্গতি রয়েছে। তবে, যদি প্রশ্নটি \((x, y)\) না হয়ে \((r, \theta)\) এবং বিকল্পগুলো \((x, y)\) হয়ে থাকে, তাহলে ব্যাখ্যা ভিন্ন হবে। কিন্তু বর্তমান প্রশ্ন অনুসারে, সঠিক সমাধান উপরের পদ্ধতিতে পাওয়া যাবে।

যদি প্রশ্নটি \((x, y)\) আকারে না হয়ে পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta))\) দেওয়া থাকে এবং কার্টেসীয় স্থানাঙ্কে রূপান্তর করতে বলা হয়, তাহলে প্রদত্ত প্রশ্ন এবং বিকল্পগুলোর মধ্যে একটি স্পষ্ট অসামঞ্জস্য রয়েছে।

যদি ধরে নেওয়া হয় যে প্রশ্নটি ছিল \((3, 3)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক, তাহলে \(r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) এবং \(\theta = \tan^{-1}(\frac{3}{3}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\)।

যদি ধরে নেওয়া হয় যে প্রশ্নটি ছিল \((3, 3\sqrt{3})\) এর পোলার স্থানাঙ্ক, তাহলে \(r = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\) এবং \(\theta = \tan^{-1}(\frac{3\sqrt{3}}{3}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\)।

তবে, প্রদত্ত প্রশ্নানুযায়ী, \((3, \frac{3\sqrt{3}}{2})\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে। এটি একটি কার্টেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)।

যদি প্রশ্নটি ভুল হয়ে থাকে এবং এটি আসলে একটি পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta))\) নির্দেশ করে, তাহলে প্রশ্নটি আরও স্পষ্ট হওয়া প্রয়োজন।

যদি প্রশ্নটি \((x, y)\) আকারে হয়ে থাকে এবং উত্তর \((3, \frac{\pi}{3})\) দেওয়া থাকে, তাহলে মূল প্রশ্নটি সম্ভবত \((\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})\) ছিল। কারণ:

\(x = \frac{3}{2}, y = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)

\(r = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3\)

\(\theta = \tan^{-1}(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\)

সুতরাং, \((3, \frac{\pi}{3})\) হবে।

কিন্তু প্রদত্ত প্রশ্ন \((3, \frac{3\sqrt{3}}{2})\) এর জন্য এই উত্তর আসে না। প্রশ্ন এবং সঠিক উত্তরের মধ্যে অসঙ্গতি রয়েছে। সঠিক উত্তর পেতে হলে প্রশ্নটি \((x,y) = (3 \cos\frac{\pi}{3}, 3 \sin\frac{\pi}{3}) = (3 \times \frac{1}{2}, 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})\) হওয়া উচিত ছিল।

( (3, frac 33 2 ) ) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক কোনটি?