চাকতির ভর \(M\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\) হলে, এর কেন্দ্রগামী ও তলের সাথে লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক হলো \(I_c = \frac{1}{2}Mr^2\)।

AB অক্ষটি চাকতির ব্যাসের সমান্তরাল এবং কেন্দ্র থেকে \(r\) দূরত্বে অবস্থিত।

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য (Parallel Axis Theorem) অনুসারে, কোনো অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক (\(I\)) = কেন্দ্রগামী সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক (\(I_c\)) + \(Md^2\), যেখানে \(M\) হলো বস্তুর ভর এবং \(d\) হলো দুটি সমান্তরাল অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব।

এই ক্ষেত্রে, \(I_{AB} = I_c + Mr^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2\)।

যদি AB অক্ষের সাপেক্ষে চক্রগতির ব্যাসার্ধ \(k\) হয়, তবে \(I_{AB} = Mk^2\)।

সুতরাং, \(Mk^2 = \frac{3}{2}Mr^2\) \(k^2 = \frac{3}{2}r^2\) \(k = \sqrt{\frac{3}{2}}r = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}r\)

কিন্তু প্রশ্ন অনুযায়ী সঠিক উত্তর \(\frac{r}{\sqrt{2}}\)

যদি AB অক্ষটি চাকতির কেন্দ্রগামী ব্যাস হয়, তবে \(I_{AB} = \frac{1}{4}Mr^2\)।

এই ক্ষেত্রে, \(Mk^2 = \frac{1}{4}Mr^2\) \(k^2 = \frac{1}{4}r^2\) \(k = \frac{r}{2}\)।

যদি AB অক্ষটি চাকতির স্পর্শক হয়, তবে \(I_{AB} = \frac{5}{4}Mr^2\)। (এটি সহায়ক তথ্যে উল্লেখিত আছে)

এই ক্ষেত্রে, \(Mk^2 = \frac{5}{4}Mr^2\) \(k^2 = \frac{5}{4}r^2\) \(k = \frac{\sqrt{5}}{2}r\)।

যদি AB অক্ষটি চাকতির স্পর্শক হয় এবং এটি চাকতির কেন্দ্র থেকে \(r\) দূরত্বে অবস্থিত হয়, তবে কেন্দ্রগামী ও তলের সাথে লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক \(I_c = \frac{1}{2}Mr^2\)।

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য ব্যবহার করে, অক্ষ CD (স্পর্শক) এর সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক \(I_{CD} = I_c + Mr^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2\)।

প্রশ্নটি সম্ভবত AB অক্ষকে একটি নির্দিষ্ট অক্ষ হিসেবে চিহ্নিত করছে যার সাপেক্ষে চক্রগতির ব্যাসার্ধ চাওয়া হয়েছে। সহায়ক তথ্যে AB অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক \(\frac{5}{4}Mr^2\) দেওয়া আছে।

তাহলে, চক্রগতির ব্যাসার্ধ \(k\) হলে:

\(I_{AB} = Mk^2\)

\(\frac{5}{4}Mr^2 = Mk^2\)

\(k^2 = \frac{5}{4}r^2\)

\(k = \sqrt{\frac{5}{4}}r\)

\(k = \frac{\sqrt{5}}{2}r\)

প্রদত্ত সঠিক উত্তর \(\frac{r}{\sqrt{2}}\)

যদি AB অক্ষটি এমন হয় যে এটি চাকতির কেন্দ্র থেকে \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) দূরত্বে একটি সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে চক্রগতির ব্যাসার্ধ নির্দেশ করে, তাহলে এটি সরাসরি ব্যবহার করা যায় না কারণ এটি জড়তার ভ্রামকের সাথে সম্পর্কিত।

তবে, যদি AB অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক \(\frac{1}{2}Mr^2\) হয়, তবে \(Mk^2 = \frac{1}{2}Mr^2\) \(k^2 = \frac{1}{2}r^2\) \(k = \sqrt{\frac{1}{2}}r = \frac{1}{\sqrt{2}}r = \frac{r}{\sqrt{2}}\)।

এটি তখনই সম্ভব যখন AB অক্ষটি চাকতির কেন্দ্রগামী তলের সাথে লম্ব অক্ষ হয়। কিন্তু চিত্রে AB অক্ষটি ব্যাসের সমান্তরাল একটি অক্ষ দেখা যাচ্ছে।

সুতরাং, সহায়ক তথ্যে দেওয়া AB অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক \(\frac{5}{4}Mr^2\) ব্যবহার করে পাই \(k = \frac{\sqrt{5}}{2}r\)।

যদি উত্তর \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) হয়, তাহলে \(I = Mk^2 = M (\frac{r}{\sqrt{2}})^2 = M \frac{r^2}{2} = \frac{1}{2}Mr^2\)। এটি চাকতির কেন্দ্রগামী তলের সাথে লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক। চিত্রে AB অক্ষটি কেন্দ্রগামী তলের সাথে লম্ব নয়।

চিত্র অনুযায়ী, AB অক্ষটি চাকতির কেন্দ্রগামী এবং ব্যাসের সমান্তরাল অক্ষ। এই ধরনের অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক \(I_{AB} = \frac{1}{4}Mr^2\)।

সুতরাং,

\(Mk^2 = \frac{1}{4}Mr^2\)

\(k^2 = \frac{1}{4}r^2\)

\(k = \sqrt{\frac{1}{4}}r\)

\(k = \frac{1}{2}r = \frac{r}{2}\)

AB অক্ষের সাপেক্ষে চক্রগতির ব্যাসার্ধ কোনটি?

AB অক্ষের সাপেক্ষে চক্রগতির ব্যাসার্ধ কোনটি?