প্রথমে ফাংশনটিকে সরলীকরণ করতে হবে:

\(S = A + \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B} \cdot C + B \cdot \overline{C} + \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}\)

এখন, এই ফাংশনটিকে সরলীকরণ করি:

১. \(\overline{A}B + B\overline{C} = B(\overline{A} + \overline{C})\)

২. \(A + \overline{A}B = (A + \overline{A})(A+B) = 1 \cdot (A+B) = A+B\)

৩. \(A + B + A\overline{B}C = A + B + A\overline{B}C\)

৪. এখন, সম্পূর্ণ সমীকরণটি দাঁড়ায়: \(S = A + B + A\overline{B}C + B\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}\)

এই সমীকরণটিকে কার্নো ম্যাপ (K-map) ব্যবহার করে সরলীকরণ করা যেতে পারে। যেহেতু এখানে তিনটি চলক (A, B, C) আছে, তাই একটি ৩-চলক K-map ব্যবহার করব।

আমরা ফাংশনটিকে সাম অফ প্রোডাক্টস (SOP) ফর্মে প্রকাশ করি:

\(S = A + \overline{A}B + A\overline{B}C + B\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}\)

ম্যাক্সটার্মগুলোকে মিনটার্মে (minterms) রূপান্তর করে K-map এ বসাই:

\(A = A(B+\overline{B})(C+\overline{C}) = A(BC+B\overline{C}+\overline{B}C+\overline{B}\overline{C}) = ABC+AB\overline{C}+A\overline{B}C+A\overline{B}\overline{C}\)

\(\overline{A}B = \overline{A}B(C+\overline{C}) = \overline{A}BC + \overline{A}B\overline{C}\)

\(A\overline{B}C\)

\(B\overline{C} = (A+\overline{A})B\overline{C} = AB\overline{C} + \overline{A}B\overline{C}\)

\(\overline{A}\overline{B}\overline{C}\)

অতএব, \(S = ABC+AB\overline{C}+A\overline{B}C+A\overline{B}\overline{C} + \overline{A}BC + \overline{A}B\overline{C} + A\overline{B}C + AB\overline{C} + \overline{A}B\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}\)

ডুপ্লিকেট পদগুলো বাদ দিলে পাই:

\(S = ABC+AB\overline{C}+A\overline{B}C+A\overline{B}\overline{C} + \overline{A}BC + \overline{A}B\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}\)

মিনটার্মগুলো হলো (যখন A, B, C বাইনারি মান 000 থেকে 111):

\(m_0 = \overline{A}\overline{B}\overline{C}\) (000) \(m_1 = \overline{A}\overline{B}C\) \(m_2 = \overline{A}B\overline{C}\) \(m_3 = \overline{A}BC\) \(m_4 = A\overline{B}\overline{C}\) \(m_5 = A\overline{B}C\) \(m_6 = AB\overline{C}\) \(m_7 = ABC\)

যে মিনটার্মগুলো S এ আছে:

\(\overline{A}\overline{B}\overline{C} = m_0\)

\(\overline{A}B\overline{C} = m_2\)

\(\overline{A}BC = m_3\)

\(A\overline{B}\overline{C} = m_4\)

\(A\overline{B}C = m_5\)

\(AB\overline{C} = m_6\)

\(ABC = m_7\)

সুতরাং, \(S = \sum m(0, 2, 3, 4, 5, 6, 7)\)।

K-map ব্যবহার করে সরলীকরণ:

AB\C	00	01	11	10
0	1	0	1	1
1	1	1	1	1

K-map থেকে আমরা গ্রুপ করি:

১. প্রথম সারির তিনটি ১ (m0, m2, m3) থেকে: \(\overline{A}\overline{B}\overline{C} + \overline{A}B\overline{C} + \overline{A}BC = \overline{A}\overline{C}(\overline{B}+B) + \overline{A}BC = \overline{A}\overline{C} + \overline{A}BC = \overline{A}(\overline{C}+BC) = \overline{A}(\overline{C}+B)\) (এখানে একটি ভুল আছে, K-map গ্রুপ করা সহজ)

সঠিকভাবে K-map গ্রুপ করলে:

\(m_0, m_4\): \(\overline{B}\overline{C}\)
\(m_4, m_5, m_7, m_6\): \(A\)
\(m_2, m_3, m_7, m_6\): \(B\)
\(m_0, m_2\): \(\overline{A}\overline{C}\)

আসলে সবচেয়ে বড় গ্রুপগুলো নিতে হবে:

চারটি ১ এর গ্রুপ: \(m_4, m_5, m_7, m_6\) থেকে \(A\)
চারটি ১ এর গ্রুপ: \(m_2, m_3, m_7, m_6\) থেকে \(B\)
দুটি ১ এর গ্রুপ: \(m_0, m_4\) থেকে \(\overline{B}\overline{C}\)
দুটি ১ এর গ্রুপ: \(m_0, m_2\) থেকে \(\overline{A}\overline{C}\)

এখানে, K-map সরলীকরণে overlapping গ্রুপ হতে পারে।

সরাসরি K-map থেকে সরলীকৃত মান হবে \(S = A + B + \overline{C}(\overline{A} + \overline{B})\)।

অথবা, \(S = A + B + \overline{A}\overline{C} + \overline{B}\overline{C}\)

আবার, \(S = A + B + \overline{A}\overline{C} + \overline{B}\overline{C} = A + B + (\overline{A} + \overline{B})\overline{C}\)

এটাকে আরও সরলীকরণ করা যায়: \(A + \overline{A}\overline{C} = (A + \overline{A})(A+\overline{C}) = A + \overline{C}\)

সুতরাং, \(S = A + B + \overline{C}\)

এই সরলীকৃত মানকে ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে বাস্তবায়ন করতে হবে।

আমরা জানি, ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে OR গেট তৈরি করা যায়: \(A+B = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}\)

এবং নট গেট তৈরি করা যায়: \(\overline{A} = A \cdot A\)

অতএব, \(S = A + B + \overline{C}\) কে ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে বাস্তবায়ন করতে হলে:

১. \(\overline{C}\) এর জন্য একটি ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে C কে ইনপুট হিসেবে দিয়ে নট গেট তৈরি করতে হবে। (\(C \rightarrow \text{NAND} \rightarrow \overline{C}\))

২. এরপর, \(A+B+\overline{C}\) কে ন্যান্ড গেট এর মাধ্যমে তৈরি করতে হবে।

আমরা জানি: \(A+B+C = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}}\)

সুতরাং, \(S = A+B+\overline{C} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{\overline{C}}}\)

এখানে, \(\overline{\overline{C}} = C\)।

অতএব, \(S = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C}\)

এই সমীকরণটিকে ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে বাস্তবায়ন করা যায়:

ইনপুট A এর জন্য একটি ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে \(\overline{A}\) তৈরি করো।
ইনপুট B এর জন্য একটি ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে \(\overline{B}\) তৈরি করো।
ইনপুট C সরাসরি নাও।
এই \(\overline{A}\), \(\overline{B}\) এবং C কে একটি ৩-ইনপুট ন্যান্ড গেটে ইনপুট হিসেবে দাও, তাহলে আউটপুট হবে \(\overline{\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C}\)।

বিকল্প সরলীকরণ পদ্ধতি: \(S = A + \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B} \cdot C + B \cdot \overline{C} + \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}\) \(S = (A + \overline{A}B) + A\overline{B}C + B\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}\) \(S = (A+B) + A\overline{B}C + B\overline{C} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}\) \(S = A+B + (A\overline{B}C + \overline{A}\overline{B}\overline{C}) + B\overline{C}\) \(S = A+B + \overline{B}(AC + \overline{A}\overline{C}) + B\overline{C}\)

এই সরলীকরণ একটু জটিল। K-map পদ্ধতিই সহজ।

আসুন, আবার K-map সরলীকরণ দেখি: \(S = \sum m(0, 2, 3, 4, 5, 6, 7)\)

AB\C	00	01	11	10
0	1	0	1	1
1	1	1	1	1

গ্রুপগুলো:

১. \(m_4, m_5, m_7, m_6\) (\(A\)): \(A\overline{B}\overline{C} + A\overline{B}C + ABC + AB\overline{C} = A(\overline{B}\overline{C} + \overline{B}C + BC + B\overline{C}) = A( (\overline{B}(\overline{C}+C)) + (B(C+\overline{C})) ) = A(\overline{B} + B) = A\)

২. \(m_2, m_3, m_7, m_6\) (\(B\)): \(\overline{A}B\overline{C} + \overline{A}BC + ABC + AB\overline{C} = B(\overline{A}\overline{C} + \overline{A}C + AC + A\overline{C}) = B( (\overline{A}(\overline{C}+C)) + (A(C+\overline{C})) ) = B(\overline{A} + A) = B\)

৩. \(m_0, m_2\) (\(\overline{A}\overline{C}\)): \(\overline{A}\overline{B}\overline{C} + \overline{A}B\overline{C} = \overline{A}\overline{C}(\overline{B}+B) = \overline{A}\overline{C}\)

এই গ্রুপগুলো নিলে \(m_0, m_2, m_3, m_4, m_5, m_6, m_7\) কভার হয়। কিন্তু \(m_0\) কভার হয়নি \(A\) ও \(B\) গ্রুপ দিয়ে।

তাহলে, সরলীকৃত মান হবে: \(S = A + B + \overline{A}\overline{C}\)

এই \(S = A + B + \overline{A}\overline{C}\) কে ন্যান্ড গেট দিয়ে বাস্তবায়ন করতে হবে।

আমরা জানি, \(A+B = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}\)

তাহলে, \(A+B+\overline{A}\overline{C} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{\overline{A}\overline{C}}}\)

১. \(\overline{A}\) তৈরি করো: \(A \rightarrow \text{NAND} \rightarrow \overline{A}\) ২. \(\overline{B}\) তৈরি করো: \(B \rightarrow \text{NAND} \rightarrow \overline{B}\) ৩. \(\overline{A}\overline{C}\) এর জন্য: \(\overline{A}\) এবং \(\overline{C}\) কে একটি ন্যান্ড গেটে ইনপুট হিসেবে দাও। এর জন্য প্রথমে \(\overline{C}\) তৈরি করতে হবে: \(C \rightarrow \text{NAND} \rightarrow \overline{C}\) তারপর, \(\overline{A}\) এবং \(\overline{C}\) কে একটি ন্যান্ড গেটে দাও: \(\text{NAND}(\overline{A}, \overline{C}) = \overline{\overline{A} \cdot \overline{C}}\) আমাদের দরকার \(\overline{\overline{A}\overline{C}}\)। তাই, \(\overline{A}\) এবং \(\overline{C}\) কে একটি AND গেটে দিলে \(\overline{A}\overline{C}\) পাওয়া যেত। তাহলে \(\overline{A}\overline{C}\) কে ন্যান্ড গেট দিয়ে তৈরি করতে হলে: \(\overline{A}\) এবং \(\overline{C}\) তৈরি করে, তাদের আউটপুটগুলোকে একটি ন্যান্ড গেটে দিয়ে আবার সেই ন্যান্ড গেটের আউটপুটকে আরেকটি ন্যান্ড গেটে ইনপুট হিসেবে দিতে হবে।

সহজ উপায় হল: \(X+Y+Z = \overline{\overline{X} \cdot \overline{Y} \cdot \overline{Z}}\)

সুতরাং, \(S = A + B + \overline{A}\overline{C}\) এখানে, \(X=A\), \(Y=B\), \(Z=\overline{A}\overline{C}\)

প্রথমে \(\overline{A}\) তৈরি করো: \(A \rightarrow \text{NAND} \rightarrow \overline{A}\) দ্বিতীয়ত \(\overline{B}\) তৈরি করো: \(B \rightarrow \text{NAND} \rightarrow \overline{B}\)

তৃতীয়ত \(\overline{A}\overline{C}\) তৈরি করো। এর জন্য \(\overline{C}\) তৈরি করো: \(C \rightarrow \text{NAND} \rightarrow \overline{C}\)

এখন, \(\overline{A}\) এবং \(\overline{C}\) কে একটি ন্যান্ড গেটে ইনপুট হিসেবে দিলে পাওয়া যাবে \(\overline{\overline{A} \cdot \overline{C}}\)। আমাদের দরকার \(\overline{A}\overline{C}\)। তাই, \(\overline{A}\) এবং \(\overline{C}\) কে একটি ন্যান্ড গেটে দিলে আউটপুট হবে \((\overline{A}\overline{C})' = \overline{\overline{A} \cdot \overline{C}}\)। এই আউটপুটকে আবার একটি ন্যান্ড গেটে ইনপুট হিসেবে দিলে পাওয়া যাবে \(\overline{\overline{\overline{A} \cdot \overline{C}}} = \overline{A} \cdot \overline{C}\)।

এখন আমাদের তিনটি পদ আছে: \(A\), \(B\), এবং \(\overline{A}\overline{C}\)।

\(S = A + B + \overline{A}\overline{C} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{(\overline{A}\overline{C})}}\)

তাহলে, ন্যান্ড গেট দিয়ে বাস্তবায়ন:

১. \(\overline{A}\) তৈরি করো (১টি ন্যান্ড গেট). ২. \(\overline{B}\) তৈরি করো (১টি ন্যান্ড গেট). ৩. \(\overline{(\overline{A}\overline{C})}\) তৈরি করো: a. \(\overline{C}\) তৈরি করো (১টি ন্যান্ড গেট). b. \(\overline{A}\) এবং \(\overline{C}\) কে একটি ন্যান্ড গেটে দাও, আউটপুট হবে \(\overline{\overline{A} \cdot \overline{C}}\) (১টি ন্যান্ড গেট).

৪. এই তিনটি আউটপুট ( \(\overline{A}\), \(\overline{B}\), \(\overline{(\overline{A} \cdot \overline{C})}\) ) কে একটি ৩-ইনপুট ন্যান্ড গেটে দাও। এই গেটের আউটপুটই হবে \(S = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{(\overline{A} \cdot \overline{C})}}\)।

মোট ৫টি ন্যান্ড গেট লাগবে।

অঙ্কন:

\(A\) -> NAND গেট -> \(\overline{A}\)
\(B\) -> NAND গেট -> \(\overline{B}\)
\(C\) -> NAND গেট -> \(\overline{C}\)
\(\overline{A}\) এবং \(\overline{C}\) -> NAND গেট -> \(\overline{\overline{A} \cdot \overline{C}}\)
\(\overline{A}\), \(\overline{B}\), \(\overline{\overline{A} \cdot \overline{C}}\) -> NAND গেট -> \(S\)

এটি ন্যান্ড গেট দিয়ে বাস্তবায়নের একটি পদ্ধতি।

( boldsymbol S =A+ overline A cdot B+A cdot overline B cdot C+B cdot overline C + overline A cdot overline B cdot overline C )