আপনি যে রাশিটির মান জানতে চেয়েছেন, সেটি হলো \(1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots\ldots+i^{n}\)। এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ \(a=1\), সাধারণ অনুপাত \(r=i\), এবং পদসংখ্যা \(n+1\)।

গুণোত্তর ধারার যোগফলের সূত্র হলো:
\( S_{N} = \frac{a(1-r^{N})}{1-r} \quad \text{যখন } r
eq 1 \)
এখানে, \(a=1\), \(r=i\), এবং \(N=n+1\)।
সুতরাং, যোগফল হবে:
\( S_{n+1} = \frac{1(1-i^{n+1})}{1-i} \)
আমরা জানি যে \(1-i = 1-i \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i}{1-i^2} = \frac{1+i}{1-(-1)} = \frac{1+i}{2}\)।

কাজেই, \(S_{n+1} = \frac{1-i^{n+1}}{1-i}\)।

আমরা \(i\) এর ঘাতগুলির বৈশিষ্ট্য জানি:
\(i^1 = i\)
\(i^2 = -1\)
\(i^3 = -i\)
\(i^4 = 1\)

\(i\) এর ঘাতগুলি প্রতি ৪টি পদের পর পুনরাবৃত্ত হয়।
অর্থাৎ, \(i^k + i^{k+1} + i^{k+2} + i^{k+3} = i^k(1+i+i^2+i^3) = i^k(1+i-1-i) = i^k(0) = 0\)।

যদি \(n+1\) ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়, অর্থাৎ \(n+1 = 4m\) (যেখানে \(m\) একটি পূর্ণসংখ্যা), তাহলে ধারাটির যোগফল হবে:
\( 1+i+i^2+i^3+\ldots\ldots+i^{4m-1} = m \times (1+i+i^2+i^3) = m \times 0 = 0 \)

যদি \(n+1\) ৪ দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তাহলে যোগফলটি \(i\) এর ঘাতগুলির চক্রাকার বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করবে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি \(n=0\) হয়, তাহলে \(1\)।
যদি \(n=1\) হয়, তাহলে \(1+i\)।
যদি \(n=2\) হয়, তাহলে \(1+i+i^2 = 1+i-1 = i\)।
যদি \(n=3\) হয়, তাহলে \(1+i+i^2+i^3 = 1+i-1-i = 0\)।
যদি \(n=4\) হয়, তাহলে \(1+i+i^2+i^3+i^4 = 0+i^4 = 1\)।

এখানে প্রশ্নে \(n\) এর মান নির্দিষ্ট করা নেই, তাই একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করতে হবে। যেহেতু \(i\) এর ঘাতগুলির যোগফল ৪টি পদের পর \(0\) হয়, তাই:

যদি \(n+1 = 4k\) (যেখানে \(k\) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা) হয়, তাহলে যোগফল হবে \(0\)।
যদি \(n+1 = 4k+1\) হয়, তাহলে যোগফল হবে \(1\)।
যদি \(n+1 = 4k+2\) হয়, তাহলে যোগফল হবে \(1+i\)।
যদি \(n+1 = 4k+3\) হয়, তাহলে যোগফল হবে \(i\)।

সাধারণভাবে, \(S_{n+1} = \frac{1-i^{n+1}}{1-i}\)।

এই নির্দিষ্ট প্রশ্নের জন্য, যেহেতু কোনো \(n\) এর মান দেওয়া নেই এবং একটি নির্দিষ্ট বিকল্প চাওয়া হয়েছে, তাহলে ধরে নিতে হবে \(n+1 = 4k+1\) এর ক্ষেত্রে যা উত্তর \(1\)। এই ধরনের MCQ প্রশ্নগুলিতে সাধারণত সেই কেসটি চাওয়া হয় যেখানে মানটি সবচেয়ে সহজ হয় অথবা \(n\) এর একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য উত্তরটি বিকল্পগুলির মধ্যে থাকে।

সুতরাং, যদি \(n=4m\) আকারের হয়, তাহলে শেষ পদটি হবে \(i^{4m} = 1\)। এই ক্ষেত্রে যোগফল হবে \(0+1=1\)।
এটি চতুর্থ বিকল্পের সাথে মিলে যায়।

সুতরাং, সম্ভাব্য উত্তর \(1\)।

( i=-1 হলে 1+i+i^ 2 +i^ 3 + ldots ldots+i^ n . ) এর মাन কত?