জটিল সংখ্যা z এর ক্ষুদ্রতম মূল আর্গুমেন্ট হলো $-(5rac{\pi}{6})$ ।

সমাধানটি ধাপে ধাপে নিচে দেওয়া হলো:

প্রথমে প্রদত্ত অসমতাটি সরলীকরণ করতে হবে। অসমতাটি হলো: $|2z+10+10i| \leq 5\sqrt{3}-5$
এটিকে আমরা এভাবে লিখতে পারি:
$|2(z+5+5i)| \leq 5\sqrt{3}-5$
$2|z+5+5i| \leq 5\sqrt{3}-5$
$|z+5+5i| \leq \frac{5\sqrt{3}-5}{2}$
এখন, এই অসমতাটি একটি বৃত্তাকার অঞ্চলের সমীকরণ নির্দেশ করে। যদি $z = x+iy$ হয়, তাহলে অসমতাটি দাঁড়ায়:
$|(x+5)+i(y+5)| \leq \frac{5\sqrt{3}-5}{2}$
$\sqrt{(x+5)^2+(y+5)^2} \leq \frac{5\sqrt{3}-5}{2}$
$(x+5)^2+(y+5)^2 \leq \left(\frac{5\sqrt{3}-5}{2}\right)^2$
এটি একটি বৃত্তের ভেতরের অংশ (এবং পরিধি) নির্দেশ করে, যার কেন্দ্র $C(-5, -5)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = \frac{5\sqrt{3}-5}{2}$ ।
‘z’ এর ক্ষুদ্রতম মূল আর্গুমেন্ট হলো মূলবিন্দু $O(0,0)$ থেকে এই বৃত্তে অঙ্কিত সেই স্পর্শকের কোণ যা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সর্বনিম্ন (সবচেয়ে ঋণাত্মক) কোণ উৎপন্ন করে।
মূলবিন্দু $O(0,0)$ থেকে বৃত্তের কেন্দ্র $C(-5,-5)$ এর দূরত্ব:
$OC = \sqrt{(-5-0)^2 + (-5-0)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
কেন্দ্র $C(-5,-5)$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। এর মূল আর্গুমেন্ট হলো:
$\arg(C) = -\pi + \tan^{-1}\left(\left|\frac{-5}{-5}\right|\right) = -\pi + \tan^{-1}(1) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$
ধরি, মূলবিন্দু থেকে বৃত্তের একটি স্পর্শক $OA$ এবং $A$ স্পর্শবিন্দু। ত্রিভুজ $OAC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $A$ বিন্দুতে $OA \perp AC$ ।
$\angle AOC$ কোণটি $\alpha$ ধরলে, সমকোণী ত্রিভুজ $OAC$ থেকে পাই:
$\sin \alpha = \frac{AC}{OC} = \frac{r}{OC} = \frac{\frac{5\sqrt{3}-5}{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$
আমরা জানি, $\sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ ।
সুতরাং, $\alpha = \frac{\pi}{12}$ ।
সর্বনিম্ন মূল আর্গুমেন্ট হলো কেন্দ্র $C$ এর আর্গুমেন্ট থেকে $\alpha$ বিয়োগ করে:
$\text{ক্ষুদ্রতম মূল আর্গুমেন্ট} = \arg(C) - \alpha = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{12}$
$= -\frac{9\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = -\frac{10\pi}{12} = -\frac{5\pi}{6}$

If a complex number z satisfies [2z+10+10i|≤ 5√3-5 then the least principal argument of z is-