দেওয়া আছে, \((2x^2+\frac{k}{x^3})^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^2\) এবং \(x^{15}\) এর সহগদ্বয় সমান।

আমরা জানি, \((a+b)^n\) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)।

এখানে, \(a=2x^2\), \(b=\frac{k}{x^3}\) এবং \(n=10\)।

সুতরাং, সাধারণ পদ \(T_{r+1} = \binom{10}{r} (2x^2)^{10-r} (\frac{k}{x^3})^r\)

\(T_{r+1} = \binom{10}{r} 2^{10-r} (x^2)^{10-r} k^r (x^{-3})^r\)

\(T_{r+1} = \binom{10}{r} 2^{10-r} k^r x^{2(10-r)} x^{-3r}\)

\(T_{r+1} = \binom{10}{r} 2^{10-r} k^r x^{20-2r-3r}\)

\(T_{r+1} = \binom{10}{r} 2^{10-r} k^r x^{20-5r}\)

\(x^2\) এর সহগ নির্ণয়ের জন্য, আমরা \(x^{20-5r} = x^2\) ধরি।

\(20-5r = 2\)

\(5r = 18\)

\(r = \frac{18}{5}\)

যেহেতু \(r\) একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই \(x^2\) এর কোনো পদ এই বিস্তৃতিতে থাকবে না।

প্রশ্নে ভুল রয়েছে। সম্ভবত \(x^5\) এবং \(x^{15}\) এর সহগের কথা বলা হয়েছে। আমরা সেই ক্ষেত্রে সমাধান করব।

যদি \(x^5\) এর সহগ নির্ণয় করতে হয়:

\(20-5r = 5\)

\(5r = 15\)

\(r = 3\)

সুতরাং, \(x^5\) এর সহগ হলো \(\binom{10}{3} 2^{10-3} k^3 = \binom{10}{3} 2^7 k^3\)।

যদি \(x^{15}\) এর সহগ নির্ণয় করতে হয়:

\(20-5r = 15\)

\(5r = 5\)

\(r = 1\)

সুতরাং, \(x^{15}\) এর সহগ হলো \(\binom{10}{1} 2^{10-1} k^1 = \binom{10}{1} 2^9 k\)।

প্রশ্নমতে, \(x^5\) এবং \(x^{15}\) এর সহগদ্বয় সমান।

\(\binom{10}{3} 2^7 k^3 = \binom{10}{1} 2^9 k\)

\(\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times 2^7 k^3 = 10 \times 2^9 k\)

\(120 \times 2^7 k^3 = 10 \times 2^9 k\)

যেহেতু \(k \neq 0\) (যদি \(k=0\) হয় তাহলে সহগ সমান হবে, কিন্তু \(k\) এর ধনাত্মক মান চাওয়া হয়েছে), আমরা উভয় পক্ষকে \(10 \times k \times 2^7\) দিয়ে ভাগ করতে পারি।

\(12 k^2 = 2^2\)

\(12 k^2 = 4\)

\(k^2 = \frac{4}{12}\)

\(k^2 = \frac{1}{3}\)

\(k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\)

\(k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)

যেহেতু \(k\) এর ধনাত্মক মান চাওয়া হয়েছে, তাই \(k = \frac{1}{\sqrt{3}}\)।

( left(2x^2+k x^3 right)^ 10 )এর বিস্তৃতিতে (x^2 )এবং (x^ 15 )এর সহগদ্বয় সমান হলে, (k )এর ধনাত্মক মান-

( left(2x^2+k x^3 right)^ 10 )এর বিস্তৃতিতে (x^2 )এবং (x^ 15 )এর সহগদ্বয় সমান হলে, (k )এর ধনাত্মক মান-