এই জটিল সংখ্যার পরম মান নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে লব ও হরের পরম মান আলাদাভাবে বের করতে হবে।

প্রদত্ত রাশি: \( \left \lvert \frac{\left ( 2 + i \right )^{3}}{2 + 3 i} \right \rvert \)

আমরা জানি, \( \left \lvert \frac{z_1}{z_2} \right \rvert = \frac{\left \lvert z_1 \right \rvert}{\left \lvert z_2 \right \rvert} \) এবং \( \left \lvert z^n \right \rvert = \left \lvert z \right \rvert^n \)।

সুতরাং, \( \left \lvert \frac{\left ( 2 + i \right )^{3}}{2 + 3 i} \right \rvert = \frac{\left \lvert ( 2 + i )^{3} \right \rvert}{\left \lvert 2 + 3 i \right \rvert} = \frac{\left \lvert 2 + i \right \rvert^3}{\left \lvert 2 + 3 i \right \rvert} \)

১. লবের পরম মান নির্ণয়:

প্রথমে \( 2+i \) এর পরম মান বের করি:

\( \left \lvert 2 + i \right \rvert = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \)

এখন \( \left \lvert ( 2 + i )^{3} \right \rvert \) এর মান হবে:

\( \left \lvert ( 2 + i )^{3} \right \rvert = (\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5} \)

২. হরের পরম মান নির্ণয়:

এখন \( 2+3i \) এর পরম মান বের করি:

\( \left \lvert 2 + 3 i \right \rvert = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \)

৩. চূড়ান্ত ফলাফল:

এখন লবের পরম মানকে হরের পরম মান দিয়ে ভাগ করে পাই:

\( \left \lvert \frac{\left ( 2 + i \right )^{3}}{2 + 3 i} \right \rvert = \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{13}} \)

ভগ্নাংশের হরকে মূলদ সংখ্যায় রূপান্তর করার জন্য লব ও হরকে \( \sqrt{13} \) দিয়ে গুণ করি:

\( \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{65}}{13} \)

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো \( \frac{5 \sqrt{65}}{13} \)।

( left lvert frac left ( 2 + i right )^ 3 2 + 3 i right rvert ) =?