এই সীমার সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা ত্রিকোণমিতিক সূত্র এবং সীমার মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করব।

দেওয়া আছে:

\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan{x} - \sin{x}}{\sin^{3}{x}} \)

আমরা \(\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\) ব্যবহার করে পাই:

\( = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}} - \sin{x}}{\sin^{3}{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} \left( \frac{1}{\cos{x}} - 1 \right)}{\sin^{3}{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} \left( \frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}} \right)}{\sin^{3}{x}} \)

একটি \(\sin{x}\) উপরে এবং নিচে কাটা যায়:

\( = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{\cos{x} \cdot \sin^{2}{x}} \)

এখন, আমরা \(1 - \cos{x} = 2\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\) সূত্রটি ব্যবহার করব:

\( = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos{x} \cdot \sin^{2}{x}} \)

এরপর, আমরা পদগুলিকে সাজিয়ে লিখব যাতে \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{ax} = 1\) ফর্ম ব্যবহার করা যায়:

\( = \lim_{x \to 0} \frac{2 \left( \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2}{\cos{x} \cdot \left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2 \cdot x^2} \)

সহজ করার জন্য:

\( = \lim_{x \to 0} \frac{2 \left( \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 \cdot \frac{x^2}{4}}{\cos{x} \cdot \left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2 \cdot x^2} \)

\( = \lim_{x \to 0} \frac{2 \left( \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 \cdot \frac{1}{4}}{\cos{x} \cdot \left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2} \)

যখন \(x \to 0\), তখন \(\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} \to 1\), \(\frac{\sin{x}}{x} \to 1\) এবং \(\cos{x} \to 1\)।

মান বসিয়ে পাই:

\( = \frac{2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4}}{1 \cdot (1)^2} \)

\( = \frac{2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}}{1} \)

\( = \frac{2}{4} \)

\( = \frac{1}{2} \)

সুতরাং, প্রদত্ত সীমার মান \(\frac{1}{2}\)। আশা করি তুমি বুঝতে পেরেছ!

( lim_ x to 0 frac tan x - sin x sin^ 3 x ) এর মান নির্ণয় করো।