প্রমাণ করতে হবে যে, \( \frac{\cos \mathrm{A}}{\sin B \sin \mathrm{C}}+\frac{\cos \mathrm{B}}{\sin C \sin \mathrm{A}}+\frac{\cos \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B}}=2 \)

বামপক্ষ (LHS) থেকে শুরু করি:

\( \text{LHS} = \frac{\cos \mathrm{A}}{\sin B \sin \mathrm{C}}+\frac{\cos \mathrm{B}}{\sin C \sin \mathrm{A}}+\frac{\cos \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B}} \)

সাধারণ হর \( \sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C} \) নিয়ে পাই:

\( = \frac{\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{A} + \cos \mathrm{B} \sin \mathrm{B} + \cos \mathrm{C} \sin \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}} \)

আমরা জানি, \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \)

সুতরাং, লবটি হবে:

\( = \frac{1}{2} \sin 2\mathrm{A} + \frac{1}{2} \sin 2\mathrm{B} + \frac{1}{2} \sin 2\mathrm{C} \)

\( = \frac{1}{2} (\sin 2\mathrm{A} + \sin 2\mathrm{B} + \sin 2\mathrm{C}) \)

ত্রিভুজের কোণগুলির জন্য আমরা জানি যে, যদি \( \mathrm{A} + \mathrm{B} + \mathrm{C} = \pi \) (বা \( 180^{\circ} \)) হয়, তবে:

\( \sin 2\mathrm{A} + \sin 2\mathrm{B} + \sin 2\mathrm{C} = 4 \sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C} \)

এই সূত্রটি ব্যবহার করে লবটিকে প্রতিস্থাপন করি:

\( = \frac{1}{2} (4 \sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}) \)

\( = 2 \sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C} \)

এখন, সম্পূর্ণ রাশিটিতে ফিরে আসি:

\( \text{LHS} = \frac{2 \sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}} \)

\( = 2 \)

যা ডানপক্ষ (RHS) এর সমান।

অতএব, প্রমাণিত।🎯