দেওয়া আছে, OQPR একটি সামান্তরিক।

O বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (0,0)

Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (-4, 2)

P বিন্দুটি x-অক্ষের উপর অবস্থিত, তাই এর y-স্থানাঙ্ক 0 হবে। ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (x_P, 0)

R বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (x_R, y_R)

প্রশ্নে PR কর্ণ নির্ণয় করতে বলা হয়েছে, যা নির্দেশ করে P এবং R বিন্দু দুটি বিপরীত শীর্ষবিন্দু। অতএব, O ও Q বিন্দু দুটিও বিপরীত শীর্ষবিন্দু হবে।

সুতরাং, সামান্তরিকটি হলো OPQR (O, P, Q, R ক্রমিক শীর্ষবিন্দু)।

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অতএব, কর্ণ OQ এর মধ্যবিন্দু = কর্ণ PR এর মধ্যবিন্দু।

OQ এর মধ্যবিন্দু = $(\frac{0 + (-4)}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = (\frac{-4}{2}, \frac{2}{2}) = (-2, 1)$

PR এর মধ্যবিন্দু = $(\frac{x_P + x_R}{2}, \frac{0 + y_R}{2})$

শর্তানুসারে,

$\frac{x_P + x_R}{2} = -2 \implies x_P + x_R = -4 \quad \cdots (1)$

$\frac{y_R}{2} = 1 \implies y_R = 2$

সুতরাং, R বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক হলো 2।

সামান্তরিক OPQR এর ক্ষেত্রে, ভেক্টর OP = ভেক্টর RQ হবে।

OP = (x_P - 0, 0 - 0) = (x_P, 0)

RQ = (x_Q - x_R, y_Q - y_R) = (-4 - x_R, 2 - y_R)

সুতরাং, (x_P, 0) = (-4 - x_R, 2 - y_R)

y-স্থানাঙ্ক তুলনা করে পাই,

0 = 2 - y_R

y_R = 2 (যা পূর্বের y_R মানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ)

x-স্থানাঙ্ক তুলনা করে পাই,

x_P = -4 - x_R \quad \cdots (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, x_R = -4 - x_P।

সমীকরণ (2) এ x_R এর মান বসিয়ে পাই,

x_P = -4 - (-4 - x_P)

x_P = -4 + 4 + x_P

x_P = x_P

এই সমীকরণটি x_P এর মান নির্ণয়ে ব্যর্থ। তাই উদ্দীপকের চিত্র থেকে P বা R এর স্থানাঙ্ক বের করতে হবে।

চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে, একটি রেখা (OB) ধনাত্মক y-অক্ষের সাথে 45° কোণ তৈরি করে এবং O বিন্দুগামী। R বিন্দুটি এই রেখার উপর অবস্থিত বলে মনে হয় এবং এটি প্রথম চতুর্ভাগে।

যদি R বিন্দুটি y=x রেখার উপর অবস্থিত হয় এবং R বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক 2 হয়, তাহলে R বিন্দুর x-স্থানাঙ্কও 2 হবে।

সুতরাং, R বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (2, 2)।

এখন, সমীকরণ (1) ব্যবহার করে x_P এর মান নির্ণয় করি।

x_P + x_R = -4

x_P + 2 = -4

x_P = -4 - 2

x_P = -6

সুতরাং, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (-6, 0)। (এটি চিত্রের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, কারণ P x-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে অবস্থিত)

এখন, P(-6, 0) এবং R(2, 2) বিন্দুগামী PR কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় করি।

সরলরেখার সমীকরণ: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

এখানে, (x₁, y₁) = (-6, 0) এবং (x₂, y₂) = (2, 2)

$\frac{y - 0}{2 - 0} = \frac{x - (-6)}{2 - (-6)}$

$\frac{y}{2} = \frac{x + 6}{2 + 6}$

$\frac{y}{2} = \frac{x + 6}{8}$

8y = 2(x + 6)

8y = 2x + 12

2x - 8y + 12 = 0

x - 4y + 6 = 0

অতএব, PR কর্ণের সমীকরণ হলো $x - 4y + 6 = 0$ .