গণিতের এই সমস্যাটি সমাধান করতে পেরে আমি আনন্দিত! চলো ধাপে ধাপে এর সমাধান করি।

প্রথম প্রশ্ন: ( x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+16=0 ) সমীকরণটি বৃত্ত কিনা যাচাই কর।

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো,

( x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+16=0 )...(i)

এই সমীকরণটিতে (x^2) ও (y^2) এর সহগ সমান (উভয়ের সহগ 1) এবং xy সম্বলিত কোনো পদ নেই। এটি একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ ( x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 ) এর সাথে তুলনা করে পাই,

(2g = -6 \Rightarrow g = -3)

(2f = -4 \Rightarrow f = -2)

(c = 16)

এখন, বৃত্তের ব্যাসার্ধের সূত্র অনুযায়ী,

( r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} )

( r = \sqrt{(-3)^{2}+(-2)^{2}-16} )

( r = \sqrt{9+4-16} )

( r = \sqrt{13-16} )

( r = \sqrt{-3} )

যেহেতু ব্যাসার্ধ ( \sqrt{-3} ) একটি অবাস্তব সংখ্যা (কারণ রুটের ভিতরে ঋণাত্মক সংখ্যা এসেছে), তাই প্রদত্ত সমীকরণটি কোনো বাস্তব বৃত্ত নির্দেশ করে না।

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণটি বৃত্ত নয়।

দ্বিতীয় প্রশ্ন: উদ্দীপকে বর্ণিত বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

মনে করি, বৃত্তটির সমীকরণ হলো ( x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 )।

যেহেতু বৃত্তটি ( x ) অক্ষকে ( (4,0) ) বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাই বৃত্তের কেন্দ্রের ভুজ হবে x-অক্ষের স্পর্শবিন্দুর x-স্থানাঙ্কের সমান, এবং c হবে g এর বর্গের সমান।

কেন্দ্রের ভুজ, ( -g = 4 \Rightarrow g = -4 )

এবং ( c = g^{2} = (-4)^{2} = 16 )

বৃত্তটির y অক্ষের ছেদাংশ 6 দেওয়া আছে।

y অক্ষের ছেদাংশের সূত্র হলো ( 2 \sqrt{f^{2}-c} )।

সুতরাং, ( 2 \sqrt{f^{2}-c}=6 )

( \sqrt{f^{2}-c}=3 )

উভয়পাশে বর্গ করে পাই,

( f^{2}-c=9 )

( f^{2}-16=9 ) (যেহেতু ( c=16 ))

( f^{2}=9+16 )

( f^{2}=25 )

( f = \pm 5 )

কিন্তু, উদ্দীপকে বলা হয়েছে বৃত্তটির কেন্দ্র ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত। কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো ( (-g, -f) )।

( -g = -(-4) = 4 )

১ম চতুর্ভাগে হতে হলে ( -f ) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। তাই ( f = -5 ) নিতে হবে (তাহলে ( -f = -(-5) = 5 ), যা ধনাত্মক)।

সুতরাং, ( g=-4, f=-5, c=16 )

বৃত্তটির সমীকরণ,

( x^{2}+y^{2}+2(-4) x+2(-5) y+16=0 )

( x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 )

এটিই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

তৃতীয় প্রশ্ন: উদ্দীপকের বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর, যা AB রেখার সমান্তরাল।

প্রথমে AB রেখার ঢাল নির্ণয় করি। A(10,8) এবং B(14,4) বিন্দু দুটি থেকে,

AB রেখার ঢাল, ( m_{AB} = \frac{4-8}{14-10} = \frac{-4}{4} = -1 )

যেহেতু স্পর্শকটি AB রেখার সমান্তরাল, তাই স্পর্শকের ঢালও -1 হবে।

দ্বিতীয় প্রশ্ন থেকে প্রাপ্ত বৃত্তটির সমীকরণ হলো ( x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 )।

এই বৃত্তের কেন্দ্র ( (-g, -f) = (4, 5) ) এবং ব্যাসার্ধ ( r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-4)^{2}+(-5)^{2}-16} = \sqrt{16+25-16} = \sqrt{25} = 5 )।

ধরি, স্পর্শকের সমীকরণ ( y = -x + k )

বা, ( x+y-k=0 )...(i)

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।

কেন্দ্র ( (4,5) ) থেকে রেখা ( x+y-k=0 ) এর লম্ব দূরত্ব,

( \frac{|4+5-k|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = 5 )

( \frac{|9-k|}{\sqrt{2}} = 5 )

( |9-k| = 5\sqrt{2} )

এখান থেকে দুটি সমীকরণ পাওয়া যায়:

( 9-k = 5\sqrt{2} ) অথবা ( 9-k = -5\sqrt{2} )

যদি ( 9-k = 5\sqrt{2} ) হয়,

( k = 9 - 5\sqrt{2} )

যদি ( 9-k = -5\sqrt{2} ) হয়,

( k = 9 + 5\sqrt{2} )

সুতরাং, নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণগুলি হলো:

( x+y-(9-5\sqrt{2}) = 0 \Rightarrow x+y-9+5\sqrt{2}=0 )

এবং

( x+y-(9+5\sqrt{2}) = 0 \Rightarrow x+y-9-5\sqrt{2}=0 )

এই দুটি সমীকরণকে সংক্ষেপে লেখা যেতে পারে: ( x+y-9 \pm 5\sqrt{2}=0 )