(ক)

প্রদত্ত A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (14, 4)

\( \therefore A(14,4) \text{ বিন্দু হতে } x^{2}+y^{2}-6 x-4 y-12=0 \text{ বৃত্তের } \)

\( \begin{aligned} \text{ওপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য } & =\sqrt{14^{2}+4^{2}-6.14-4.4-12} \\ & =\sqrt{196+16-84-16-12} \\ & =\sqrt{212-112} \\ & =\sqrt{100}=10 \text{ একক} \end{aligned} \)

(খ)

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, \( x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \) (i)

চিত্রানুসারে, বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করেছে। সুতরাং \( c=f^{2} \)

(i) নং \( (3,0) \) বিন্দুগামী।

\( 3^{2}+0^{2}+2 g(3)+2 f .0+f^{2}=0 \)

বা, \( 9+6 g+f^{2}=0 \)

\( \therefore f^{2}=-6 g-9 \) (ii)

(i) নং \( (7,0) \) বিন্দুগামী।

\( 7^{2}+0^{2}+2 g(7)+2 f .0+f^{2}=0 \)

বা, \( 49+14 g+f^{2}=0 \)

\( f^{2} \) এর মান (ii) নং থেকে বসিয়ে পাই,

\( 49+14 g+(-6 g-9)=0 \)

বা, \( 49+14 g-6 g-9=0 \)

বা, \( 8 g+40=0 \)

বা, \( 8 g=-40 \)

\( \therefore g=-5 \)

\( g \) এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

\( f^{2}=-6(-5)-9 \)

\( f^{2}=30-9 \)

\( f^{2}=21 \)

\( \therefore f= \pm \sqrt{21} \)

যেহেতু বৃত্তটির কেন্দ্র ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত, সুতরাং \( f=-\sqrt{21} \) হবে।

\( f^{2} \) এর মান \( c=f^{2} \) এ বসিয়ে পাই, \( c=21 \)

\( \therefore g, f \) ও \( c \) এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

\( x^{2}+y^{2}+2(-5) x+2(-\sqrt{21}) y+21=0 \)

\( \therefore x^{2}+y^{2}-10 x-2 \sqrt{21} y+21=0 \)

(গ)

‘খ