আমরা \( \sqrt[4]{-81} \) এর মান নির্ণয় করতে চাই।

ধরি, \( x = \sqrt[4]{-81} \)

তাহলে, \( x^4 = -81 \)

আমরা জানি \( i^2 = -1 \), সুতরাং \( -81 = 81i^2 \)

অতএব, \( x^4 = 81i^2 \)

\( x^4 - 81i^2 = 0 \)

এটি \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \) সূত্র ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যেতে পারে, যেখানে \( a = x^2 \) এবং \( b = 9i \)।

\( (x^2)^2 - (9i)^2 = 0 \)

\( (x^2 + 9i)(x^2 - 9i) = 0 \)

এই সমীকরণ থেকে আমরা দুটি সমাধান পাই:

১. \( x^2 - 9i = 0 \)

\( x^2 = 9i \)

আমরা জানি \( (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \)

সুতরাং, \( 9i = \frac{9}{2} \cdot 2i = \frac{9}{2}(1+i)^2 \)

\( x^2 = \frac{9}{2}(1+i)^2 \)

\( x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}(1+i)^2} \)

\( x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}(1+i) \)

২. \( x^2 + 9i = 0 \)

\( x^2 = -9i \)

আমরা জানি \( (1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \)

সুতরাং, \( -9i = \frac{9}{2} \cdot (-2i) = \frac{9}{2}(1-i)^2 \)

\( x^2 = \frac{9}{2}(1-i)^2 \)

\( x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}(1-i)^2} \)

\( x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}(1-i) \)

অতএব, \( \sqrt[4]{-81} \) এর মানগুলি হল \( \pm \frac{3}{\sqrt{2}}(1+i) \) এবং \( \pm \frac{3}{\sqrt{2}}(1-i) \)।

এই দুটিকে একত্রে লেখা যায় \( \pm \frac{3}{\sqrt{2}}(1 \pm i) \)।

The value of ( sqrt[4] - 81 ) is -