প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ হলো \( x^2 + 3y^2 = 4 \)
বা, \( \frac{x^2}{4} + \frac{3y^2}{4} = 1 \)
বা, \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{\frac{4}{3}} = 1 \)
এখানে, \( a^2 = 4 \) এবং \( b^2 = \frac{4}{3} \)
যেহেতু \( a^2 > b^2 \), উপবৃত্তের প্রধান অক্ষ x-অক্ষ বরাবর।
উৎকেন্দ্রিকতা \( e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হলো \( x = \pm ae \)
\( x = \pm \sqrt{4} \times \sqrt{\frac{2}{3}} \)
\( x = \pm 2 \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
\( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \)
তবে, বিকল্পগুলোতে এই মানটি নেই, সম্ভবত প্রশ্নে বা বিকল্পে কোনো ভুল আছে। তবে, প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে থেকে সঠিকটি খুঁজে বের করার জন্য, আমরা যদি \( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \) বিকল্পটি বিবেচনা করি, তবে এটি \( x = \pm ae \) এর অনুরূপ।
যদি উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \) হয়, তবে \( ae = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( 2e = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( e = \frac{\sqrt{2}}{3} \)
কিন্তু আমরা পেয়েছি \( e = \sqrt{\frac{2}{3}} \)।
যদি উপবৃত্তের সমীকরণ \( 9x^2 + 4y^2 = 36 \) হত, তবে \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \)
এখানে \( a^2 = 9 \), \( b^2 = 4 \) (প্রধান অক্ষ y-অক্ষ বরাবর)
\( e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \( y = \pm ae = \pm 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \pm \sqrt{5} \)

প্রদত্ত প্রশ্নে \( x^2 + 3y^2 = 4 \) উপবৃত্তের জন্য:
\( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4/3} = 1 \)
এখানে, \( A^2 = 4 \) এবং \( B^2 = 4/3 \)
যেহেতু \( A^2 > B^2 \), প্রধান অক্ষ x-অক্ষ বরাবর।
উৎকেন্দ্রিকতা \( e = \sqrt{1 - \frac{B^2}{A^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হলো \( x = \pm Ae \)
\( x = \pm \sqrt{4} \times \sqrt{\frac{2}{3}} \)
\( x = \pm 2 \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
\( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \)

বিকল্প C: \( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
যদি এটি সঠিক উত্তর হয়, তবে \( ae = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( 2e = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( e = \frac{\sqrt{2}}{3} \)
কিন্তু আমাদের প্রাপ্ত উৎকেন্দ্রিকতা \( e = \sqrt{\frac{2}{3}} \)।
মনে হচ্ছে প্রশ্নে বা বিকল্পে কিছু ভুল আছে। কিন্তু যদি আমাদের প্রাপ্ত \( x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \) কে বিকল্পের সাথে তুলনা করি, তাহলে কোনোটিই সরাসরি মেলে না।

যদি প্রশ্নটি \( 9x^2 + 4y^2 = 36 \) বা অনুরূপ কিছু হত, তবে সঠিক বিকল্প নির্বাচন করা সহজ হত।

যাইহোক, প্রশ্ন এবং বিকল্পগুলোর মধ্যে সবচেয়ে কাছাকাছি উত্তর হলো C:
\( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
ধরে নেওয়া যেতে পারে প্রশ্নে টাইপিং মিসটেক ছিল এবং সঠিক উৎকেন্দ্রিকতা \( e = \frac{\sqrt{2}}{3} \) এর জন্য এই বিকল্পটি প্রযোজ্য।
অথবা, যদি উপবৃত্তের সমীকরণ \( 9x^2 + 4y^2 = 36 \) হত তাহলে \( y = \pm \sqrt{5} \)।

প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে, \( x^2 + 3y^2 = 4 \)
\( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4/3} = 1 \)
এখানে \( a^2 = 4 \) এবং \( b^2 = 4/3 \)।
সুতরাং, \( a = 2 \) এবং \( b = 2/\sqrt{3} \)।
উৎকেন্দ্রিকতা \( e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{\frac{2}{3}}, 0) = (\pm \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, 0) = (\pm \frac{2\sqrt{6}}{3}, 0) \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \( x = \pm ae \)
অর্থাৎ, \( x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \)

প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে, \( C: x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \) সবচেয়ে কাছাকাছি হলেও, এটি সরাসরি আমাদের প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে মেলে না।
যদি প্রশ্নে \( a = 3 \) এবং \( e = \frac{\sqrt{2}}{3} \) হত, তবে \( ae = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} \)।

আসুন, আবার পরীক্ষা করি।
যদি \( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \) উত্তর হয়, তাহলে \( ae = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
যেহেতু \( a = 2 \), \( 2e = \frac{2\sqrt{2}}{3} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{2}}{3} \)
কিন্তু আমাদের প্রাপ্ত \( e = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)
সুতরাং, প্রদত্ত বিকল্প C সঠিক নয় যদি প্রশ্নটি নির্ভুল হয়।

যদি প্রশ্নে ভুল থাকে, তাহলে সমাধানটি দেওয়া সম্ভব নয়। তবে যদি বিকল্পগুলোর মধ্যে C কে সঠিক ধরা হয়, তাহলে প্রশ্নটি \( x^2 + \frac{9}{2}y^2 = 4 \) এরকম কিছু হতে পারত।
\( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8/9} = 1 \)
\( a^2 = 4, b^2 = 8/9 \)
\( e = \sqrt{1 - \frac{8/9}{4}} = \sqrt{1 - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \)
\( ae = 2 \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{2\sqrt{7}}{3} \)
এটিও মেলে না।

যদি প্রশ্নটি \( 9x^2 + 16y^2 = 144 \) হত তাহলে \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \)
\( a^2 = 16, b^2 = 9 \)
\( e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \)
\( ae = 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \sqrt{7} \)

উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \( x = \pm ae \) বা \( y = \pm ae \)।
আমাদের প্রাপ্ত \( ae = \frac{2\sqrt{6}}{3} \)

যদি প্রশ্নটি \( x^2 + 9y^2 = 4 \) হত:
\( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4/9} = 1 \)
\( a^2 = 4, b^2 = 4/9 \)
\( e = \sqrt{1 - \frac{4/9}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
তাহলে \( ae = 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হত \( x = \pm \frac{4\sqrt{2}}{3} \)। এটিও বিকল্প C এর সাথে মেলে না।

সুতরাং, মূল সমীকরণ \( x^2 + 3y^2 = 4 \) এর জন্য আমাদের প্রাপ্ত উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হলো \( x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \)।
যদি প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে থেকে একটিকে সঠিক উত্তর হিসাবে নির্বাচন করতে হয় এবং প্রশ্নটি নির্ভুল হয়, তবে বিকল্প C তে সম্ভবত টাইপিং মিসটেক আছে এবং \( \frac{2\sqrt{6}}{3} \) এর পরিবর্তে \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \) লেখা হয়েছে। অথবা, মূল প্রশ্নেই কোনো ভুল আছে।

যাইহোক, প্রশ্নানুযায়ী ধাপে ধাপে সমাধান করলে সঠিক উত্তর \( x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \) হয়, যা বিকল্পগুলোতে নেই। যদি বিকল্প C কে সঠিক ধরা হয়, তবে এটি তখনই সম্ভব যখন \( e = \frac{\sqrt{2}}{3} \) এবং \( a = 2 \) হয়, যা এই সমীকরণের জন্য সত্য নয়।

তবে, আমরা যদি ধরি যে প্রশ্নে \( a = 1 \) এবং \( e = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) হতে হবে, তাহলে \( x = \pm ae \) হতে পারে।

আবার, যদি আমরা প্রদত্ত সমীকরণ \( x^2 + 3y^2 = 4 \) থেকে শুরু করি এবং ধরে নিই যে বিকল্প C সঠিক, তাহলে আমরা দেখতে পাই যে এটি অসঙ্গতিপূর্ণ।

কিন্তু, যেহেতু একটি বিকল্প নির্বাচন করতে বলা হয়েছে এবং C হলো \( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \), যা \( x = \pm ae \) ফর্মের।

আমরা উপবৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ রূপে লিখি: \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4/3} = 1 \)।
এখানে, \( a^2 = 4 \) এবং \( b^2 = 4/3 \)।
উৎকেন্দ্রিকতা, \( e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হলো \( x = \pm ae \)
\( x = \pm 2 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \)
\( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \)

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে \( x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \) নেই। বিকল্প C হলো \( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \)।
যদি এটি সঠিক উত্তর হয়, তবে এটি তখনই সম্ভব যদি \( e = \frac{\sqrt{2}}{3} \) হয়। কিন্তু আমাদের গণনা অনুযায়ী \( e = \frac{\sqrt{6}}{3} \)।

সম্ভাব্য ভুল: হতে পারে প্রশ্নে \( 9x^2 + y^2 = 4 \) অথবা অন্য কোনো সমীকরণ ছিল।

ধরা যাক, প্রশ্নে আসলে \( x^2 + 9y^2 = 4 \) ছিল।
\( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4/9} = 1 \)
\( a^2 = 4, b^2 = 4/9 \)
\( e = \sqrt{1 - \frac{4/9}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
তখন উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \( x = \pm ae = \pm 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \pm \frac{4\sqrt{2}}{3} \)। এটিও বিকল্প C এর সাথে মেলে না।

যদি প্রশ্নটি \( x^2 + 9y^2 = 1 \) হত:
\( \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/9} = 1 \)
\( a^2 = 1, b^2 = 1/9 \)
\( e = \sqrt{1 - \frac{1/9}{1}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
তখন উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \( x = \pm ae = \pm 1 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \)।
এই ক্ষেত্রে, বিকল্প C সঠিক হবে।

যেহেতু প্রশ্নে \( x^2 + 3y^2 = 4 \) দেওয়া আছে, এবং এই সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত ফলাফল বিকল্পের সাথে মেলে না, তাই প্রশ্নটি ভুল হতে পারে। তবে, যদি বিকল্প C সঠিক উত্তর হয়, তবে ধরে নিতে হবে যে প্রশ্নে \( x^2 + 9y^2 = 1 \) এই সমীকরণটি ছিল। যেহেতু প্রশ্নটি পরিবর্তন করার অনুমতি নেই, তাই প্রদত্ত সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত ফলাফলই উপস্থাপন করা উচিত।

প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + 3y^2 = 4 \)
উপবৃত্তটিকে আদর্শ রূপে প্রকাশ করি: \( \frac{x^2}{4} + \frac{3y^2}{4} = 1 \)
\( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4/3} = 1 \)
এখানে, \( a^2 = 4 \) এবং \( b^2 = 4/3 \)
সুতরাং, \( a = 2 \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \( e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হলো \( x = \pm ae \)
\( x = \pm 2 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \)
\( x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে \( \sqrt{3} \) দ্বারা গুণ করি:
\( x = \pm \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \)
\( x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \)

প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে \( x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \) সরাসরি নেই। সবচেয়ে কাছাকাছি বিকল্প হলো \( C: x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \)।
যদি C সঠিক উত্তর হয়, তবে এটি তখনই সম্ভব যখন উৎকেন্দ্রিকতা \( e = \frac{\sqrt{2}}{3} \) হবে, যা আমাদের প্রাপ্ত উৎকেন্দ্রিকতার (\( e = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)) সাথে মেলে না।

অতএব, প্রশ্ন বা বিকল্পে ভুল আছে। তবে, যদি ধরে নেওয়া হয় যে বিকল্প C সঠিক এবং এটি প্রাপ্ত ফলাফলের সবচেয়ে নিকটবর্তী, তাহলে এই বিকল্পটি নির্বাচন করতে হবে। কিন্তু গাণিতিকভাবে সঠিক উত্তর \( x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} \)।

( x^2 + 3y^2 = 4 ) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ কোনটি?