দেওয়া আছে দুইটি সমীকরণ: \( x^{2}+a x+b=0 \) এবং \( x^{2}+b x+a=0 \)। ধরি, সাধারণ মূলটি হলো \( \alpha \)। তাহলে, সাধারণ মূল দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে:

\( \alpha^{2}+a \alpha+b=0 \)
\( \alpha^{2}+b \alpha+a=0 \)

এখন, (1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই: \( (\alpha^{2}+a \alpha+b) - (\alpha^{2}+b \alpha+a) = 0 \) \( \alpha^{2}+a \alpha+b - \alpha^{2}-b \alpha-a = 0 \) \( a \alpha - b \alpha + b - a = 0 \) \( \alpha(a-b) - (a-b) = 0 \) \( (a-b)(\alpha-1) = 0 \)

এই সমীকরণ থেকে দুইটি সম্ভাব্য ফলাফল পাওয়া যায়:

ক্ষেত্র 1: \( a-b=0 \) যদি \( a-b=0 \) হয়, তাহলে \( a=b \)। এই ক্ষেত্রে, উভয় সমীকরণ একই হয়ে যায়: \( x^{2}+a x+a=0 \)। এই সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকতে হলে, এর মূলদ্বয় সমান হতে হবে, যার অর্থ নিরূপক শূন্য হতে হবে। নিরূপক = \( a^2 - 4(1)(a) = a^2 - 4a \) \( a^2 - 4a = 0 \) \( a(a-4) = 0 \) সুতরাং, \( a=0 \) অথবা \( a=4 \)।

যদি \( a=0 \) হয়, তাহলে \( b=0 \)। এই ক্ষেত্রে, \( a+b = 0+0 = 0 \)। যদি \( a=4 \) হয়, তাহলে \( b=4 \)। এই ক্ষেত্রে, \( a+b = 4+4 = 8 \)। কিন্তু প্রশ্নে \( a+b \) এর একটি নির্দিষ্ট মান চাওয়া হয়েছে, তাই \( a=b \) হলে একাধিক মান আসতে পারে, যা সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে চাওয়া হয় না।

ক্ষেত্র 2: \( \alpha-1=0 \) যদি \( \alpha-1=0 \) হয়, তাহলে \( \alpha=1 \)। এখন, \( \alpha=1 \) কে যেকোনো একটি মূল সমীকরণে বসাই, যেমন (1) নং সমীকরণে: \( 1^{2}+a (1)+b=0 \) \( 1+a+b=0 \) সুতরাং, \( a+b=-1 \)

এই মানটি একমাত্র এবং সুনির্দিষ্ট। তাই, \( a+b \) এর মান \( -1 \) হবে।

( x^ 2 +a x+b=0 ) এবং ( x^ 2 +b x+a=0 ) সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকলে ( a+b= ) কত?