আমরা $z_{1} = - 1 - i \sqrt{3}$ এর বর্গমূল নির্ণয় করব।

ধরি, $\sqrt{- 1 - i \sqrt{3}} = a + i b$ , যেখানে $a$ ও $b$ বাস্তব সংখ্যা।

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

$- 1 - i \sqrt{3} = (a + i b)^{2}$

$- 1 - i \sqrt{3} = a^{2} - b^{2} + 2 a b i$

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ তুলনা করে পাই:

$a^{2} - b^{2} = - 1 (1)$

$2 a b = - \sqrt{3} (2)$

এছাড়াও, $| a + i b |^{2} = | - 1 - i \sqrt{3} |$ থেকে পাই:

$a^{2} + b^{2} = \sqrt{(- 1)^{2} + (- \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 (3)$

এখন, (1) ও (3) যোগ করে পাই:

$(a^{2} - b^{2}) + (a^{2} + b^{2}) = - 1 + 2$

$2 a^{2} = 1$

$a^{2} = \frac{1}{2}$

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই:

$(a^{2} + b^{2}) - (a^{2} - b^{2}) = 2 - (- 1)$

$2 b^{2} = 3$

$b^{2} = \frac{3}{2}$

$b = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

সমীকরণ (2) থেকে, $2 a b = - \sqrt{3}$ , যা নির্দেশ করে যে $a$ ও $b$ এর চিহ্ন বিপরীত হবে।

সুতরাং, দুটি বর্গমূল হলো:

যদি $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ হয়, তাহলে $b = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ । একটি বর্গমূল: $\frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

যদি $a = - 1 \sqrt{2}$ হয়, তাহলে $b = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ । অন্য বর্গমূল: $- \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

অতএব, $z_{1}$ এর বর্গমূল হলো $\pm (\frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$ ।

বা, $\pm (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{6}}{2})$ ।

(z_ 1 =-1-i 3, z_ 2 =3-i ).